چه نوع مثلث هایی می تواند وجود داشته باشد؟ چه نوع مثلث هایی وجود دارد؟ قضایای مثلث

مثلث - تعریف و مفاهیم کلی

مثلث یک چند ضلعی ساده است که از سه ضلع تشکیل شده و تعداد زوایا یکسانی دارد. صفحات آن توسط 3 نقطه و 3 بخش محدود شده است که این نقاط را به صورت جفت به هم متصل می کند.

تمام رئوس هر مثلث، صرف نظر از نوع آن، با حروف بزرگ لاتین مشخص می شوند و اضلاع آن با علامت های مربوط به رئوس مخالف، فقط نه با حروف بزرگ، بلکه با حروف کوچک نشان داده می شوند. به عنوان مثال، مثلثی با رئوس با برچسب A، B و C دارای اضلاع a، b، c است.

اگر یک مثلث را در فضای اقلیدسی در نظر بگیریم، این چنین است شکل هندسی، که با استفاده از سه بخش ایجاد شده است که سه نقطه را به هم متصل می کند که روی یک خط مستقیم قرار ندارند.

به تصویر نشان داده شده در بالا با دقت نگاه کنید. روی آن نقاط A، B و C رئوس این مثلث هستند و پاره های آن را اضلاع مثلث می نامند. هر رأس این چند ضلعی زاویه هایی را در داخل آن تشکیل می دهد.

انواع مثلث

با توجه به اندازه زوایای مثلث ها، آنها به انواع مختلفی تقسیم می شوند: مستطیل؛
حاد زاویه ای؛
مبهم.

مثلث های مستطیلی شامل آنهایی هستند که یک زاویه قائمه و دو زاویه دیگر دارای زاویه تند هستند.

مثلث های حاد آنهایی هستند که تمام زوایای آن تند باشد.

و اگر مثلثی دارای یک زاویه منفرد و دو زاویه دیگر حاد باشد، چنین مثلثی به عنوان منفرد طبقه بندی می شود.

هر یک از شما به خوبی می‌دانید که همه مثلث‌ها اضلاع مساوی ندارند. و با توجه به طول اضلاع آن، مثلث ها را می توان به موارد زیر تقسیم کرد:

متساوی الساقین;
متساوی الاضلاع؛
همه کاره.

وظیفه: انواع مثلث ها را رسم کنید. آنها را تعریف کنید. چه تفاوتی بین آنها می بینید؟

ویژگی های اساسی مثلث ها

اگرچه این چند ضلعی های ساده ممکن است از نظر اندازه زاویه یا اضلاع با یکدیگر متفاوت باشند، اما هر مثلث دارای ویژگی های اساسی است که مشخصه این شکل است.

در هر مثلث:

مجموع تمام زوایای آن 180 درجه است.
اگر متعلق به متساوی الاضلاع باشد، هر یک از زوایای آن 60 درجه است.
مثلث متساوی الاضلاع دارای زوایای مساوی و مساوی است.
هرچه ضلع چند ضلعی کوچکتر باشد، زاویه مقابل آن کوچکتر است و بالعکس، زاویه بزرگتر در مقابل ضلع بزرگتر است.
اگر اضلاع مساوی باشند، در مقابل آنها زوایای مساوی وجود دارد و بالعکس.
اگر مثلثی را بگیریم و ضلع آن را گسترش دهیم، در نهایت با یک زاویه خارجی مواجه می شویم. برابر است با مجموع زوایای داخلی.
در هر مثلثی، ضلع آن، صرف نظر از اینکه کدام یک را انتخاب کنید، باز هم کمتر از مجموع 2 ضلع دیگر خواهد بود، اما بیشتر از تفاوت آنها خواهد بود:

1. الف< b + c, a >b–c;
2.b< a + c, b >a–c;
3. ج< a + b, c >الف – ب

ورزش کنید

جدول دو زاویه از قبل شناخته شده مثلث را نشان می دهد. با دانستن مجموع تمام زوایا، زاویه سوم مثلث را با چه عددی بدست آورید و در جدول وارد کنید:

1. زاویه سوم چند درجه است؟
2. متعلق به چه نوع مثلثی است؟

تست های هم ارزی مثلث ها

امضا میکنم

علامت دوم

علامت III

ارتفاع، نیمساز و وسط مثلث

ارتفاع مثلث - به عمودی که از رأس شکل به طرف مقابل آن کشیده می شود، ارتفاع مثلث می گویند. تمام ارتفاعات یک مثلث در یک نقطه قطع می شوند. نقطه تلاقی هر 3 ارتفاع یک مثلث، مرکز آن است.

پاره ای که از یک راس معین کشیده می شود و آن را در وسط طرف مقابل به هم وصل می کند، میانه است. میانه ها، و همچنین ارتفاعات یک مثلث، یک نقطه تقاطع مشترک دارند، به اصطلاح مرکز ثقل مثلث یا مرکز.

نیمساز مثلث پاره ای است که راس یک زاویه و نقطه مقابل را به هم وصل می کند و این زاویه را نیز به نصف تقسیم می کند. تمام نیمسازهای یک مثلث در یک نقطه قطع می شوند که به آن مرکز دایره محاط شده در مثلث می گویند.

قسمتی که وسط دو ضلع مثلث را به هم متصل می کند خط وسط نامیده می شود.

پیشینه تاریخی

شکلی مانند مثلث در دوران باستان شناخته شده بود. این شکل و خواص آن در چهار هزار سال پیش بر روی پاپیروس های مصری ذکر شده است. کمی بعد، به لطف قضیه فیثاغورث و فرمول هرون، مطالعه خواص یک مثلث به سطح بالاتری رفت، اما هنوز هم این اتفاق بیش از دو هزار سال پیش رخ داد.

در پانزدهم - قرن 16آنها شروع به انجام تحقیقات زیادی در مورد خواص یک مثلث کردند و در نتیجه علمی مانند پلان سنجی به وجود آمد که "هندسه مثلث جدید" نامیده شد.

دانشمند روسی N.I. Lobachevsky سهم بزرگی در شناخت خواص مثلث ها داشت. آثار او بعدها در ریاضیات، فیزیک و سایبرنتیک کاربرد پیدا کرد.

به لطف دانش در مورد خواص مثلث ها، علمی مانند مثلثات بوجود آمد. معلوم شد که در نیازهای عملی شخص برای شخص ضروری است ، زیرا استفاده از آن هنگام ترسیم نقشه ها ، اندازه گیری مناطق و حتی هنگام طراحی مکانیسم های مختلف به سادگی ضروری است.

معروف ترین مثلثی که می شناسید چیست؟ این البته مثلث برمودا است! این نام را در دهه 50 به دلیل موقعیت جغرافیایی نقاط (رأس مثلث) دریافت کرد که طبق نظریه موجود، ناهنجاری های مرتبط با آن به وجود آمد. رئوس مثلث برمودا برمودا، فلوریدا و پورتوریکو هستند.

تکلیف: چه نظریه هایی در مورد مثلث برمودا شنیده اید؟

آیا می دانید که در نظریه لوباچفسکی، هنگام جمع کردن زوایای مثلث، مجموع آنها همیشه کمتر از 180 درجه است. در هندسه ریمان مجموع زوایای یک مثلث بزرگتر از 180 درجه و در آثار اقلیدس برابر با 180 درجه است.

مشق شب

حل جدول کلمات متقاطع در مورد یک موضوع

سوالات جدول کلمات متقاطع:

1. عمودی که از راس مثلث به خط مستقیم واقع در ضلع مقابل کشیده می شود چه نام دارد؟
2. چگونه در یک کلمه می توان مجموع طول اضلاع یک مثلث را نام برد؟
3- مثلثی را نام ببرید که دو ضلع آن مساوی باشد؟
4- مثلثی را نام ببرید که زاویه آن برابر 90 درجه باشد؟
5. نام بزرگترین ضلع مثلث چیست؟
6. نام ضلع مثلث متساوی الساقین چیست؟
7. همیشه در هر مثلثی سه عدد از آنها وجود دارد.
8. نام مثلثی که یکی از زوایای آن از 90 درجه بیشتر باشد چیست؟
9. نام پاره ای که بالای شکل ما را به وسط طرف مقابل متصل می کند؟
10. در یک چند ضلعی ساده ABC حرف بزرگ A ... است؟
11. نام پاره ای که زاویه مثلث را به دو نیم می کند چیست؟

سوالات در مورد مثلث:

1. آن را تعریف کنید.
2. چند ارتفاع دارد؟
3. یک مثلث چند نیمساز دارد؟
4. مجموع زوایای آن چقدر است؟
5. چه انواعی از این چند ضلعی ساده را می شناسید؟
6. نقاط مثلثی که قابل توجه نامیده می شوند را نام ببرید.
7. برای اندازه گیری زاویه از چه وسیله ای می توانید استفاده کنید؟
8. اگر عقربه های ساعت 21 را نشان می دهند. عقربه های ساعت چه زاویه ای ایجاد می کنند؟
9. اگر دستور «چپ»، «دایره» به فرد داده شود، از چه زاویه ای می چرخد؟
10. چه تعاریف دیگری را می شناسید که با شکلی که دارای سه زاویه و سه ضلع است مرتبط باشد؟

دروس > ریاضی > ریاضی پایه هفتم

موضوع: ریاضی

کلاس: کلاس سوم

کتاب درسی: "ریاضیات" قسمت 2.

موضوع: انواع مثلث

نوع درس: کشف دانش جدید

هدف: یاد بگیرید که انواع مثلث ها را با اندازه گیری طول اضلاع آنها شناسایی کنید.

وظایف :

1) دانش را در مورد اشکال هندسی - مستطیل، مربع، مثلث به روز کنید.

2) جمع و تفریق اعداد سه رقمی را به روز کنید و یک عدد دو رقمی را به تک رقمی، دو رقمی و گرد تقسیم کنید. ضرب یک عدد دو رقمی در یک عدد تک رقمی

3) اصطلاحات متساوی الساقین، متساوی الاضلاع، مثلث مقیاسی را معرفی کنید.

پیشرفت درس

1.انگیزه به فعالیت های آموزشی

ببین، بگو چیه؟

(هرمی)

به من بگویید از چه چیزی تشکیل شده است؟ (از قطعات، سطوح...)

آیا می توان این هرم را با دانش ما مقایسه کرد؟ (بله)

هر روز که اهرام جدید بیشتری می سازید، هر سطح از هرم دانش جدیدی است که در کلاس کسب می کنید. اگر سطح آبی را حذف کنیم چه اتفاقی برای هرم می افتد؟ ( فرو می ریزد و کوچکتر می شود.)

چه چیزی می تواند باعث فروپاشی هرم دانش ما شود؟ (به دلیل انجام نشدن تکالیف، از دست دادن دروس، گوش ندادن دقیق به معلم.)

برای تقویت و رشد هرم ما چه باید کرد؟ (تکلیف را مطالعه کنید، در کلاس خوب کار کنید، تکالیف را انجام دهید، مدرسه را رها نکنید.)

بچه ها همه چی رو درست گفتید حالا بیایید تصور کنیم که هرم ما سایه انداخته است. به من بگویید سایه چه شکل هندسی است؟

(روی مثلث.)

امروز ما به کار با چنین شکل هندسی مانند مثلث ادامه خواهیم داد.

2. به روز رسانی دانش و ثبت مشکلات در یک موقعیت مشکل

با چه اشکال هندسی آشنایی دارید؟ (مربع، مستطیل، مثلث).

یک جدول روی تخته وجود دارد، آن را بر اساس دانش خود پر کنید (هر دانش آموز کارتی با چنین جدولی دارد):

دو شکل هندسی اول چه نام دارند؟ (مستطیل و مربع در یک کلام چهار ضلعی هستند.)

به من بگویید چه نوع چهارضلعی را می شناسید؟ تصویر آنها در اسلاید به شما در پاسخ به این سوال کمک می کند.

نام چهار ضلعی ها بعد از پاسخ های بچه ها ظاهر می شود.

(لوزی، مربع، مستطیل، ذوزنقه، متوازی الاضلاع - آنها با تصاویر روی اسلاید یا تخته نامیده می شوند.)

آیا می توانید بگویید مستطیل چیست و مربع چیست؟

(مستطیل چهار ضلعی است که تمام زوایای آن قائمه است.

مربع مستطیلی است که همه اضلاع آن برابر است)

شکل هندسی اضافی را بر اساس نتایج جدول پیدا کنید. (مثلث).

بسیار خوب، چهار ضلعی ها همه بسیار متفاوت هستند، اما درباره مثلث چه می دانید؟ (مثلث ها عبارتند از: حاد، منفرد، مستطیل.)

چه چیز دیگری در مورد مثلث می دانید؟ (تعریف)

مثلث شکل هندسی است که دارای 3 زاویه، 3 رأس و 3 ضلع است.

با توجه به دانش خود جدول زیر را پر کنید:

(معلم جدول را با توجه به پاسخ های بچه ها پر می کند. نظرات مختلفی در ستون های "عنوان" مطرح می شود و برخی از کودکان آنها را خالی می گذارند.)

3. شناسایی محل و علت مشکل.

چه وظیفه ای انجام می دادی؟ (جدول را پر کنید.)

مشکل از کجا بوجود آمد؟ (هنگام نوشتن نام مثلث ها)

چرا مشکل به وجود آمد؟ (ما نمی دانیم نام آنها چیست)

هدف از درس چیست؟ (دریابید که غیر از مثلث های مورد مطالعه چه نوع دیگری از مثلث ها وجود دارد (مفرد، حاد، مستطیل)، یاد بگیرید که این نوع مثلث ها را شناسایی کنید.)

موضوع درس ما چیست؟ (انواع مثلث)

4. کشف دانش جدید.

برگردیم سر میز.

ابعاد اضلاع مثلث ها را وارد می کنیم. (ورود کنید.)

خوب، حالا نگاه کن و بگو به چه چیزی توجه کردی؟ (مثلث اول همه اضلاع برابر، دومی 2 ضلع مساوی و سومی همه ضلع های متفاوت دارد.)

درست است، می توانید با توجه به توضیحاتی که دادید، نام هایی برای این مثلث ها بیاورید؟ (بله)

به مثلثی که همه اضلاع آن مساوی است چه می گویید؟ با یک صفت متشکل از 2 کلمه بیایید: اضلاع مساوی. (متساوی الاضلاع)

به مثلثی که همه اضلاع آن متفاوت است چه می گویید؟ (همه کاره)

اسم مثلثی که 2 ضلع آن مساوی است چیست؟ (کودکان شک دارند؛ برای پاسخ به این سوال از کتاب درسی ص 73 استفاده می کنند) (متساوی الساقین) چه مثلث دیگری را می توانیم متساوی الساقین بنامیم؟ (متساوی الاضلاع)

بر اساس دانش جدید خود جدول را پر کنید.

آیا اکنون می توانیم انواع مثلث ها را تعریف کنیم؟ (بله)

متساوی الاضلاع - مثلثی که هر سه ضلع آن با هم برابر باشند.

متساوی الساقین - یک مثلث با حداقل دو ضلع مساوی. مثلث متساوی الاضلاع نیز مثلث متساوی الساقین است.

همه کاره - مثلثی که همه اضلاع آن متفاوت است.

تعاریف خود را بررسی کنید ص 73 - کتاب درسی. (آنها بررسی می کنند.)

آیا تعاریف را درست انجام داده اید؟ (بله.)

5. تحکیم اولیه با تلفظ در گفتار خارجی

تکلیف کتاب درسی ص 74 (زیر؟) را کامل کنید

1) همه کاره: 2،3،5

2) متساوی الساقین: 1،4 , 6, 7

(دانش آموزان در دفتر می نویسند. به نوبت پاسخ ها را می گویند و دلیل می آورند. نمونه روی تخته ثبت می شود).

6. کار مستقل با خودآزمایی طبق استاندارد.

خودتان کار را کامل کنید. در پایان کار - خودآزمایی با توجه به نمونه (روی تخته یا روی کارت های فردی).

№1. جدول را پر کنید ، مثلث ها را به صورت شماتیک رسم کنید.

№2. اعداد را بنویسید:

1) مثلث های Scalene.

2) متساوی الساقین، از اعداد نوشته شده، زیر اعداد مثلث متساوی الاضلاع خط بکشید.

مرجع:

وظیفه شماره 1:

وظیفه شماره 2:

1) مثلث های مقیاس: 2،3،4

2) مثلث متساوی الساقین (تعداد مثلث متساوی الاضلاع خط کشیده شده است): 1،5

7. گنجاندن در نظام دانش و تکرار

پسرک مثلث هایی را روی شن ها کشید و کلمات را رمزگذاری کرد. ابتدا آنهایی را که در مثلث های مقیاسی و سپس در مثلث های متساوی الساقین نوشته شده اند حل کنید. و کلمات رمزگذاری شده را حدس می زنید.

نکته: اعداد را به ترتیب صعودی بنویسید و کلمات را دریافت خواهید کرد.

کارت:

راه حل:

جواب: انواع مثلث

8. تأمل در فعالیت های آموزشی.

بر این اساس یک هرم دانش متشکل از 7 سطح ترسیم کنید. هر سطح پاسخی به یک سوال است.

به سوالات پاسخ دهید:

1) بچه ها، "انواع مثلث" را چه چیزی یادداشت کردید؟ (موضوع درس ما)

2) هدف ما چه بود؟ (ببینید که هر 3 نوع مثلث چه نامیده می شوند، یاد بگیرید که این انواع را با اندازه گیری طول اضلاع شناسایی کنید.)

3) چه نوع مثلث هایی را تشخیص دادید؟ (اسکلن، متساوی الساقین، متساوی الاضلاع)

4) چرا به آنها می گویند؟

( متساوی الاضلاع - مثلثی که همه اضلاع آن برابر است.

متساوی الساقین - مثلثی با حداقل دو ضلع مساوی، از جمله مثلث متساوی الاضلاع، زیرا دو ضلع برابر دارد.)

همه کاره - یک مثلث با همه اضلاع متفاوت است.)

5) آیا یاد گرفته اید که چگونه انواع مثلث ها را به صورت شماتیک به تصویر بکشید؟ (بله، در کار مستقل.)

6) امروز چه اکتشافاتی انجام دادید؟ (انواع جدید مثلث ها، نام آنها.)

7) بچه ها میشه با توجه به ابعادش نوع مثلث رو تعیین کنید؟ (بله) اکنون اندازه گیری ها را به شما می گویم و شما یک کارت با نام نوع مثلث بلند می کنید (کارت ها به اضافه صادر می شوند - هر کدام 3 کارت.)

1. 2cm، 3cm، 5cm - همه کاره

2. 4cm، 4cm، 2cm - متساوی الساقین

3.6 سانتی متر، 6 سانتی متر، 6 سانتی متر - متساوی الاضلاع، متساوی الساقین

دستان خود را بلند کنید، کیست که امروز به اوج این دانش رسیده است؟ (بالا بردن)

اگر 1 یا 2 سطح کافی نیست، دستان خود را بالا ببرید. (آنها آن را مطرح می کنند.)

(معلم "اهرام دانش را در کودکان تجزیه و تحلیل می کند، نتیجه گیری می کند - کدام سطح سقوط می کند و در درس بعدی شروع به به روز رسانی دانش از این می کند.)

ساده ترین چندضلعی که در مدرسه مطالعه می شود یک مثلث است. برای دانش آموزان قابل درک تر است و با مشکلات کمتری مواجه می شود. با وجود این واقعیت که وجود دارد انواع مختلفمثلث هایی که خواص ویژه ای دارند.

به چه شکلی مثلث می گویند؟

توسط سه نقطه و بخش تشکیل شده است. اولی ها را رئوس و دومی ها را طرف می نامند. علاوه بر این، هر سه بخش باید طوری به هم وصل شوند که زوایایی بین آنها ایجاد شود. از این رو نام شکل "مثلث" است.

تفاوت در نام در گوشه و کنار

از آنجایی که می توانند حاد، منفرد و مستقیم باشند، انواع مثلث ها با این نام ها مشخص می شوند. بر این اساس، سه گروه از این چهره ها وجود دارد.

• اول اگر تمام زوایای مثلث تند باشد، آن را حاد می نامند. همه چیز منطقی است.

• دوم یکی از زوایا منفرد است، یعنی مثلث منفرد است. ساده تر از این نمی توانست باشد.

• سوم زاویه ای برابر با 90 درجه وجود دارد که به آن زاویه قائمه می گویند. مثلث مستطیل می شود.

تفاوت در نام در طرفین

بسته به ویژگی های اضلاع، انواع مثلث های زیر متمایز می شوند:

حالت کلی scalene است که در آن همه ضلع ها دارای طول دلخواه هستند.

متساوی الساقین که دو طرف آن مقادیر عددی یکسانی دارند.

متساوی الاضلاع، طول همه اضلاع آن یکسان است.

اگر در کار مشخص نشده باشد نوع خاصمثلث، سپس باید یک مثلث دلخواه بکشید. که در آن تمام گوشه ها تیز هستند و کناره ها دارای طول های مختلف هستند.

ویژگی های مشترک در همه مثلث ها

1. اگر تمام زوایای یک مثلث را جمع کنید، عددی برابر با 180 درجه به دست می آید. و فرقی نمی کند چه نوع باشد. این قانون همیشه اعمال می شود.
2. مقدار عددی هر ضلع مثلث کمتر از دو ضلع دیگر است که با هم جمع شوند. علاوه بر این، از تفاوت آنها بیشتر است.
3. هر زاویه خارجی مقداری دارد که با افزودن دو زاویه داخلی که مجاور آن نیستند به دست می آید. علاوه بر این، همیشه بزرگتر از داخلی مجاور آن است.
4. کوچکترین زاویه همیشه در مقابل ضلع کوچکتر مثلث است. و بالعکس، اگر ضلع بزرگ باشد، زاویه آن بزرگترین خواهد بود.

مهم نیست که چه نوع مثلث هایی در مسائل در نظر گرفته می شوند، این ویژگی ها همیشه معتبر هستند. همه بقیه از ویژگی های خاص پیروی می کنند.

ویژگی های مثلث متساوی الساقین

• زوایایی که در مجاورت قاعده قرار دارند با هم برابرند.
• ارتفاعی که به سمت قاعده کشیده می شود نیز وسط و نیمساز است.
• ارتفاعات، میانه ها و نیمسازها که در اضلاع جانبی مثلث ساخته شده اند، به ترتیب با یکدیگر برابر هستند.

ویژگی های مثلث متساوی الاضلاع

اگر چنین رقمی وجود داشته باشد، تمام ویژگی هایی که کمی در بالا توضیح داده شده است، صادق خواهند بود. زیرا متساوی الاضلاع همیشه متساوی الساقین خواهد بود. اما نه برعکس، یک مثلث متساوی الساقین لزوما متساوی الاضلاع نخواهد بود.

• تمام زوایای آن با یکدیگر برابر بوده و مقدار آن 60 درجه است.
• هر وسط یک مثلث متساوی الاضلاع ارتفاع و نیمساز آن است. علاوه بر این، همه آنها با یکدیگر برابر هستند. برای تعیین مقادیر آنها، فرمولی وجود دارد که از حاصل ضرب ضلع و جذر 3 تقسیم بر 2 تشکیل شده است.

ویژگی های مثلث قائم الزاویه

• مجموع دو زاویه تند 90 درجه می شود.
• طول هیپوتنوز همیشه از هر یک از پاها بیشتر است.
• مقدار عددی میانه رسم شده به هیپوتنوس برابر با نصف آن است.
• اگر پا در مقابل زاویه 30 درجه قرار گیرد با همان مقدار برابر است.
• ارتفاعی که از راس با مقدار 90 درجه ترسیم می شود، وابستگی ریاضی خاصی به پاها دارد: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. در اینجا: a، b - پاها، n - ارتفاع.

مشکلات انواع مثلث ها

شماره 1. یک مثلث متساوی الساقین در نظر گرفته شده است. محیط آن مشخص است و برابر با 90 سانتی متر است. همانطور که شرط اضافی: طرف کناری 1.2 برابر کوچکتر از پایه است.

مقدار محیط به طور مستقیم به مقادیری که باید پیدا شود بستگی دارد. مجموع هر سه ضلع 90 سانتی متر می شود حالا باید علامت مثلث را به خاطر بسپارید که مطابق آن متساوی الساقین است. یعنی دو طرف برابرند. شما می توانید یک معادله با دو مجهول ایجاد کنید: 2a + b = 90. در اینجا a طرف است، b پایه است.

حالا نوبت یک شرط اضافی است. به دنبال آن، معادله دوم به دست می آید: b = 1.2a. می توانید این عبارت را با عبارت اول جایگزین کنید. معلوم می شود: 2a + 1.2a = 90. پس از تبدیل: 3.2a = 90. از این رو a = 28.125 (سانتی متر). اکنون به راحتی می توان اساس را پیدا کرد. این بهتر است از شرط دوم انجام شود: b = 1.2 * 28.125 = 33.75 (سانتی متر).

برای بررسی، می توانید سه مقدار اضافه کنید: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (cm). درست است.

پاسخ: اضلاع مثلث 28.125 سانتی متر، 28.125 سانتی متر، 33.75 سانتی متر است.

شماره 2. ضلع مثلث متساوی الاضلاع 12 سانتی متر است، باید ارتفاع آن را محاسبه کنید.

راه حل. برای یافتن پاسخ کافی است به لحظه ای که ویژگی های مثلث شرح داده شد بازگردیم. این فرمول برای یافتن ارتفاع، میانه و نیمساز مثلث متساوی الاضلاع است.

n = a * √3 / 2، که در آن n ارتفاع و a سمت است.

تعویض و محاسبه نتیجه زیر را به دست می دهد: n = 6 √3 (cm).

نیازی به حفظ این فرمول نیست. کافی است به یاد داشته باشید که ارتفاع مثلث را به دو مستطیل تقسیم می کند. علاوه بر این ، معلوم می شود که یک پا است و هیپوتونوس موجود در آن طرف اصلی است ، پای دوم نیمی از ضلع شناخته شده است. حالا باید قضیه فیثاغورث را بنویسید و یک فرمول برای ارتفاع استخراج کنید.

پاسخ: قد 6 √3 سانتی متر است.

شماره 3. با توجه به اینکه MKR یک مثلث است که در آن زاویه K 90 درجه است، اضلاع MR و KR به ترتیب برابر با 30 و 15 سانتی متر هستند.

راه حل. اگر یک نقاشی بکشید، مشخص می شود که MR هیپوتانوس است. علاوه بر این، دو برابر بزرگتر از سمت KR است. دوباره باید به خواص مراجعه کنید. یکی از آنها مربوط به زاویه است. از آن مشخص است که زاویه KMR 30 درجه است. این به این معنی است که زاویه مورد نظر P برابر با 60 درجه خواهد بود. این از خاصیت دیگری ناشی می شود که بیان می کند مجموع دو زاویه تند باید برابر 90 درجه باشد.

پاسخ: زاویه P 60 درجه است.

شماره 4. ما باید تمام زوایای یک مثلث متساوی الساقین را پیدا کنیم. در مورد آن مشخص است که زاویه خارجی از زاویه در پایه 110 درجه است.

راه حل. از آنجایی که فقط زاویه خارجی داده شده است، این همان چیزی است که باید استفاده کنید. این یک زاویه باز شده با زاویه داخلی تشکیل می دهد. یعنی در مجموع 180 درجه می دهند. یعنی زاویه قاعده مثلث برابر 70 درجه خواهد بود. از آنجایی که متساوی الساقین است، زاویه دوم نیز همان مقدار را دارد. باقی مانده است که زاویه سوم را محاسبه کنیم. طبق ویژگی مشترک همه مثلث ها، مجموع زاویه ها 180 درجه است. این بدان معنی است که سومی به صورت 180º - 70º - 70º = 40º تعریف می شود.

پاسخ: زوایای 70 درجه، 70 درجه، 40 درجه است.

شماره 5. مشخص است که در مثلث متساوی الساقین زاویه مقابل قاعده 90 درجه است. یک نقطه روی پایه مشخص شده است. قسمتی که آن را به زاویه قائمه متصل می کند، آن را به نسبت 1 به 4 تقسیم می کند. باید تمام زوایای مثلث کوچکتر را پیدا کنید.

راه حل. یکی از زوایا را می توان بلافاصله تعیین کرد. از آنجایی که مثلث قائم الزاویه و متساوی الساقین است، آنهایی که در قاعده آن قرار دارند هر کدام 45 درجه خواهند بود، یعنی 90 درجه / 2.

دومی از آنها به شما کمک می کند تا رابطه شناخته شده در شرایط را پیدا کنید. از آنجایی که برابر با 1 به 4 است، قسمت هایی که به آن تقسیم می شود فقط 5 است. این بدان معنی است که برای پیدا کردن زاویه کوچکتر یک مثلث به 90º/5 = 18º نیاز دارید. باقی مانده است که سومی را کشف کنیم. برای این کار باید 45 و 18 درجه را از 180 درجه کم کنید (مجموع تمام زوایای مثلث). محاسبات ساده هستند، و شما دریافت می کنید: 117 درجه.

نامگذاری های استاندارد

مثلث با رئوس الف, بو سیبه عنوان تعیین شده است (شکل را ببینید). مثلث سه ضلع دارد:

طول اضلاع یک مثلث با حروف کوچک لاتین (a, b, c) نشان داده می شود:

یک مثلث دارای زوایای زیر است:

مقادیر زاویه در رئوس مربوطه به طور سنتی با حروف یونانی (α، β، γ) نشان داده می شود.

نشانه های تساوی مثلث ها

یک مثلث در صفحه اقلیدسی را می توان به طور منحصر به فرد (تا همخوانی) توسط سه گانه عناصر اساسی زیر تعیین کرد:

1. a، b، γ (برابری در دو طرف و زاویه قرار گرفته بین آنها).
2. a، β، γ (برابری در ضلع و دو زاویه مجاور)؛
3. الف، ب، ج (برابری در سه طرف).

نشانه های برابری مثلث های قائم الزاویه:

1. در امتداد ساق و هیپوتانوز؛
2. روی دو پا؛
3. در امتداد ساق و زاویه حاد؛
4. در امتداد هیپوتنوز و زاویه حاد.

برخی از نقاط مثلث "جفت" هستند. به عنوان مثال، دو نقطه وجود دارد که همه ضلع ها یا با زاویه 60 درجه یا با زاویه 120 درجه قابل مشاهده هستند. نامیده می شوند نقاط توریچلی. همچنین دو نقطه وجود دارد که برآمدگی آنها روی اضلاع در رأس یک مثلث منظم قرار دارد. این - نقاط آپولونیوس. امتیاز و مانند آن نامیده می شود نقاط بروکارد.

مستقیم

در هر مثلثی، مرکز ثقل، مرکز قائم و مرکز دایره بر روی یک خط مستقیم قرار دارند که به نام خط اویلر.

خط مستقیمی که از مرکز دایره و نقطه لموئین می گذرد نامیده می شود محور بروکارت. نقاط آپولونیوس روی آن قرار دارد. نقطه Torricelli و نقطه Lemoine نیز در یک خط قرار دارند. قاعده نیمسازهای خارجی زوایای مثلث بر روی یک خط مستقیم به نام قرار دارند محور نیمسازهای خارجی. نقاط تلاقی خطوط حاوی اضلاع مثلث با خطوط حاوی اضلاع مثلث نیز روی همین خط قرار دارد. این خط نامیده می شود محور متعامد، بر خط مستقیم اویلر عمود است.

اگر نقطه ای از دایره دایره مثلث بگیریم، برآمدگی های آن روی اضلاع مثلث روی همان خط مستقیم قرار می گیرد که به نام سیمسون مستقیم استاین نقطه خطوط سیمسون از نقاط کاملاً متضاد، عمود هستند.

مثلث ها

• مثلثی با رئوس در قاعده های کشیده شده از یک نقطه معین نامیده می شود مثلث سئویناین نقطه
• مثلثی با رئوس در برآمدگی یک نقطه معین روی اضلاع نامیده می شود چمنیا مثلث پدالاین نقطه
• مثلثی که رئوس آن در دومین نقطه تلاقی خطوط کشیده شده از رئوس و نقطه داده شده با دایره محصور شده نامیده می شود. مثلث محیطی. مثلث محیطی شبیه مثلث چمنی است.

حلقه ها

• دایره حکاکی شده- دایره ای که هر سه ضلع مثلث را لمس می کند. او تنها است. مرکز دایره محاطی نامیده می شود مرکز.
• دایره- دایره ای که از هر سه رأس مثلث می گذرد. دایره محدود نیز منحصر به فرد است.
• حلقه بزنید- دایره ای که یک طرف مثلث و ادامه دو ضلع دیگر را لمس می کند. سه دایره از این قبیل در یک مثلث وجود دارد. مرکز رادیکال آنها مرکز دایره محاطی مثلث میانی است که به آن می گویند نکته اسپایکر.

نقاط وسط سه ضلع یک مثلث، پایه های سه ارتفاع آن و وسط سه قسمتی که راس آن را به مرکز قائم متصل می کنند، روی یک دایره قرار دارند که به آن می گویند. دایره نه نقطه اییا دایره اویلر. مرکز دایره نه نقطه ای روی خط اویلر قرار دارد. یک دایره نه نقطه ای یک دایره محاطی و سه دایره دور را لمس می کند. نقطه مماس بین دایره محاط شده و دایره نه نقطه نامیده می شود نقطه فویرباخ. اگر از هر رأس به سمت بیرون مثلث روی خطوط مستقیمی که اضلاع را شامل می شود، ارتزهایی مساوی با اضلاع مقابل قرار دهیم، شش نقطه به دست آمده روی همان دایره قرار می گیرند - دایره کانوی. در هر مثلثی می توان سه دایره را به گونه ای حک کرد که هر یک از آنها دو ضلع مثلث و دو دایره دیگر را لمس کنند. چنین حلقه هایی نامیده می شوند دایره های مالفاتی. مرکز دایره های محصور شش مثلثی که مثلث به وسط آنها تقسیم می شود روی یک دایره قرار دارد که به آن می گویند. دور لامون.

یک مثلث دارای سه دایره است که دو ضلع مثلث و دایره دایره را لمس می کنند. چنین حلقه هایی نامیده می شوند نیمه کتیبه اییا دایره های Verrier. قطعاتی که نقاط مماس دایره های وریر را به دایره دور متصل می کنند در یک نقطه به نام نکته وریر. به عنوان مرکز یک همگنی عمل می کند که یک دایره را به یک دایره محاط تبدیل می کند. نقاط تماس دایره های Verrier با اضلاع روی یک خط مستقیم قرار دارند که از مرکز دایره محاطی می گذرد.

قطعاتی که نقاط مماس دایره محاطی را به رئوس متصل می کنند در یک نقطه به نام نقطه گرگون، و پاره های اتصال رئوس با نقاط مماس دایره ها در هستند نقطه ناگل.

بیضی ها، سهمی ها و هذلولی ها

مخروطی کتیبه (بیضی) و چشم انداز آن

تعداد نامتناهی مخروط (بیضی، سهمی یا هذلولی) را می توان در یک مثلث حک کرد. اگر یک مخروط دلخواه را در یک مثلث حک کنیم و نقاط مماس را با رئوس مخالف به هم وصل کنیم، آنگاه خطوط مستقیم حاصل در یک نقطه قطع می شوند که به آن می گویند. چشم اندازتختخواب برای هر نقطه ای از هواپیما که در یک طرف یا در امتداد آن قرار ندارد، یک مخروط حکاکی شده با یک چشم انداز در این نقطه وجود دارد.

بیضی اشتاینر توصیف شده و سئوین ها از کانون های آن عبور می کنند

شما می توانید یک بیضی را در یک مثلث حک کنید که اضلاع را در وسط لمس می کند. چنین بیضی نامیده می شود بیضی اشتاینر حکاکی شده است(پرسپکتیو آن مرکز مثلث خواهد بود). بیضی محصور که خطوطی را که از رئوس موازی با اضلاع عبور می کنند لمس می کند، نامیده می شود. توسط بیضی اشتاینر توصیف شده است. اگر یک مثلث را با استفاده از تبدیل افین ("کول") به یک مثلث منتظم تبدیل کنیم، بیضی اشتاینر محاط شده و محاط شده آن به یک دایره محاط شده و محصور تبدیل می شود. خطوط Chevian که از طریق کانون های بیضی اشتاینر توصیف شده (نقاط اسکوتین) کشیده شده اند با هم برابر هستند (قضیه اسکوتین). از بین تمام بیضی های توصیف شده، بیضی اشتاینر توصیف شده دارای کمترین مساحت و در بین تمام بیضی های محاطی، بیضی اشتاینر دارای بیشترین مساحت است.

بیضی بروکارد و تماشاگر آن - نقطه لموئین

بیضی با کانون در نقاط بروکارد نامیده می شود بیضی بروکارد. چشم انداز آن نقطه Lemoine است.

ویژگی های سهمی محاطی

سهمی کیپرت

چشم انداز سهمی های محاط شده بر روی بیضی اشتاینر توصیف شده نهفته است. کانون یک سهمی حکاکی شده روی دایره دایره قرار دارد و جهاز از مرکز متعامد عبور می کند. سهمی که در یک مثلث حک شده و جهت اویلر به عنوان خط مستقیم آن وجود دارد، نامیده می شود. سهمی کیپرت. چشم انداز آن چهارمین نقطه تلاقی دایره محصور و بیضی استاینر محدود است که به نام نقطه اشتاینر.

هذلولی کیپرت

اگر هذلولی توصیف شده از نقطه تقاطع ارتفاعات عبور کند، متساوی الاضلاع است (یعنی مجانب آن عمود هستند). نقطه تلاقی مجانب هذلولی متساوی الاضلاع روی دایره نه نقطه قرار دارد.

تحولات

اگر خطوطی که از رئوس عبور می کنند و نقطه ای که در طرفین قرار ندارد و امتداد آنها نسبت به نیمسازهای مربوطه منعکس می شود، تصاویر آنها نیز در یک نقطه قطع می شود که به آن می گویند. مزدوج همساناصلی (اگر نقطه روی دایره محدود قرار گرفته باشد، خطوط مستقیم حاصل موازی خواهند بود). بسیاری از جفت نقاط قابل توجه به صورت متقابل مزدوج هستند: مرکز و مرکز متعامد، مرکز و نقطه Lemoine، نقاط Brocard. نقاط آپولونیوس به صورت همسان با نقاط توریچلی مزدوج هستند و مرکز دایره محاطی به صورت همسان با خود مزدوج است. تحت عمل صرف همگونی، خطوط مستقیم به مخروط های محدود تبدیل می شوند و مخروط های محدود به خطوط مستقیم. بنابراین، هذلولی کیپرت و محور بروکارد، هذلولی جنزابک و خط مستقیم اویلر، هذلولی فویرباخ و خط مراکز دایره های محاط شده و محاط شده به صورت هم ضلعی مزدوج هستند. دایره های مثلث نقاط مزدوج همسان بر هم منطبق هستند. کانون های بیضی های محاط شده به صورت همگون مزدوج هستند.

اگر به جای یک سئوین متقارن، یک سئوین را انتخاب کنیم که قاعده آن از وسط ضلع به اندازه قاعده ی اصلی فاصله داشته باشد، آنگاه چنین سئوین ها نیز در یک نقطه قطع می شوند. تبدیل حاصل نامیده می شود کونژوگاسیون ایزوتومی. همچنین خطوط مستقیم را به مخروط های توصیف شده تبدیل می کند. نقاط Gergonne و Nagel از نظر ایزوتومی مزدوج هستند. تحت تبدیل های آفین، نقاط مزدوج ایزوتومی به نقاط مزدوج ایزوتومی تبدیل می شوند. با صرف ایزوتومی، بیضی اشتاینر توصیف شده به خط مستقیم بی نهایت دور می رود.

اگر در قسمت هایی که اضلاع مثلث از دایره محصور جدا شده اند، دایره هایی را که اضلاع آنها را لمس می کنند، در پایه های سیون ها که از یک نقطه مشخص کشیده شده اند، می نویسیم و سپس نقاط مماس این دایره ها را با دایره محصور شده وصل می کنیم. رئوس مخالف، آنگاه چنین خطوط مستقیمی در یک نقطه قطع خواهند شد. تبدیل صفحه ای که نقطه اصلی را با نقطه حاصل مطابقت دهد نامیده می شود تبدیل همدوره ای. ترکیب مزدوج های ایزوگونال و ایزوتومی ترکیب یک تبدیل همسان دایره ای با خود است. این ترکیب یک تبدیل تصویری است که اضلاع مثلث را در جای خود رها می کند و محور نیمسازهای خارجی را به یک خط مستقیم در بی نهایت تبدیل می کند.

اگر اضلاع یک مثلث شوین را در یک نقطه مشخص ادامه دهیم و نقاط تقاطع آنها را با اضلاع مربوطه در نظر بگیریم، آنگاه نقاط تقاطع حاصل روی یک خط مستقیم قرار می گیرند که به نام قطبی سه خطینقطه شروع محور ارتوسنتریک قطب سه خطی مرکز متعامد است. قطب سه خطی مرکز دایره محاطی، محور نیمسازهای خارجی است. قطب‌های سه‌خطی نقاطی که روی یک مخروط محدود قرار دارند در یک نقطه قطع می‌شوند (برای یک دایره محصور این نقطه لموئین است و برای یک بیضی اشتاینر محصور شده مرکز است). ترکیب یک مزدوج ایزوگونال (یا ایزوتومی) و یک قطب سه خطی یک تبدیل دوگانه است (اگر یک نقطه به صورت ایزوگونال (ایزوتومی) به یک نقطه مزدوج روی قطب سه خطی یک نقطه قرار داشته باشد، قطب سه خطی یک نقطه به صورت همسان (ایزوتومی) مزدوج به نقطه ای که روی قطب سه خطی یک نقطه قرار دارد).

مکعب ها

نسبت ها در یک مثلث

توجه:در این بخش، , طول سه ضلع مثلث و , , زوایایی هستند که به ترتیب در مقابل این سه ضلع قرار دارند (زوایای مخالف).

نابرابری مثلثی

در مثلث غیر منحط، مجموع طول دو ضلع آن از طول ضلع سوم بیشتر است، در مثلث منحط برابر است. به عبارت دیگر، طول اضلاع یک مثلث با نابرابری های زیر مرتبط است:

نابرابری مثلث یکی از بدیهیات متریک است.

قضیه مجموع زاویه مثلث

قضیه سینوس ها

,

که در آن R شعاع دایره ای است که به دور مثلث محصور شده است. از این قضیه برمی آید که اگر الف< b < c, то α < β < γ.

قضیه کسینوس

قضیه مماس

نسبت های دیگر

نسبت های متریک در یک مثلث برای:

حل مثلث

محاسبه اضلاع و زوایای مجهول مثلث بر اساس اضلاع شناخته شده در طول تاریخ "حل مثلث" نامیده می شود. از قضایای مثلثاتی کلی فوق استفاده می شود.

مساحت یک مثلث

موارد خاص علامت گذاری

برای منطقه نابرابری های زیر معتبر است:

محاسبه مساحت مثلث در فضا با استفاده از بردارها

رئوس مثلث در نقاط , , .

بیایید بردار مساحت را معرفی کنیم. طول این بردار برابر با مساحت مثلث است و نسبت به صفحه مثلث عادی است:

اجازه دهید تنظیم کنیم، که در آن،، پیش بینی های مثلث بر روی هواپیماهای مختصات هستند. در عین حال

و به همین ترتیب

مساحت مثلث است.

یک جایگزین این است که طول اضلاع را محاسبه کنید (با استفاده از قضیه فیثاغورث) و سپس با استفاده از فرمول هرون.

قضایای مثلث

این بخش تکمیل نشده است.