Постоянная больцмана в эв. Постоянная Больцмана: значение и физический смысл

Постоянная Больцмана (k или k b ) - физическая постоянная, определяющая связь между и . Названа в честь австрийского физика , сделавшего большой вклад в , в которой эта постоянная играет ключевую роль. Её экспериментальное значение в системе равно

Числа в круглых скобках указывают стандартную погрешность в последних цифрах значения величины. В принципе, постоянная Больцмана может быть получена из определения абсолютной температуры и других физических постоянных. Однако, вычисление постоянной Больцмана с помощью основных принципов слишком сложно и невыполнимо при современном уровне знаний. В естественной системе единиц Планка естественная единица температуры задается так, что постоянная Больцмана равна единице.

Связь между температурой и энергией.

Определение энтропии.

Термодинамической системы определяется как натуральный логарифм от числа различных микросостояний Z, соответствующих данному макроскопическому состоянию (например, состоянию с заданной полной энергией).

Коэффициент пропорциональности k и есть постоянная Больцмана. Это выражение, определяющее связь между микроскопическими (Z) и макроскопическими состояниями (S), выражает центральную идею статистической механики.

Постоянная Больцмана, представляющая собой коэффициент, равный k = 1 , 38 · 10 - 23 Д ж К, является частью значительного числа формул в физике. Она получила свое название по имени австрийского физика – одного из основоположников молекулярно-кинетической теории. Сформулируем определение постоянной Больцмана:

Определение 1

Постоянной Больцмана называется физическая постоянная, с помощью которой определяется связь между энергией и температурой.

Не следует путать ее с постоянной Стефана-Больцмана, связанной с излучением энергии абсолютно твердого тела.

Существуют различные методы вычисления данного коэффициента. В рамках этой статьи мы рассмотрим два их них.

Нахождение постоянной Больцмана через уравнение идеального газа

Данная постоянная может быть найдена с помощью уравнения, описывающего состояние идеального газа. Опытным путем можно определить, что нагревание любого газа от T 0 = 273 К до T 1 = 373 К приводит к изменению его давления от p 0 = 1 , 013 · 10 5 П а до p 0 = 1 , 38 · 10 5 П а. Это достаточно простой эксперимент, который может быть проведен даже просто с воздухом. Для измерения температуры при этом нужно использовать термометр, а давления – манометр. При этом важно помнить, что количество молекул в моле любого газа примерно равно 6 · 10 23 , а объем при давлении в 1 а т м равен V = 22 , 4 л. С учетом всех названных параметров можно перейти к вычислению постоянной Больцмана k:

Для этого запишем уравнение дважды, подставив в него параметры состояний.

Зная результат, можем найти значение параметра k:

Нахождение постоянной Больцмана через формулу броуновского движения

Для второго способа вычисления нам также потребуется провести эксперимент. Для него нужно взять небольшое зеркало и подвесить в воздухе с помощью упругой нитки. Допустим, что система зеркало-воздух находится в стабильном состоянии (статическом равновесии). Молекулы воздуха ударяют в зеркало, которое, по сути, ведет себя как броуновская частица. Однако с учетом его подвешенного состояния мы можем наблюдать вращательные колебания вокруг определенной оси, совпадающей с подвесом (вертикально направленной нитью). Теперь направим на поверхность зеркала луч света. Даже при незначительных движениях и поворотах зеркала отражающийся в нем луч будет заметно смещаться. Это дает нам возможность измерить вращательные колебания объекта.

Обозначив модуль кручения как L , момент инерции зеркала по отношению к оси вращения как J , а угол поворота зеркала как φ , можем записать уравнение колебаний следующего вида:

Минус в уравнении связан с направлением момента сил упругости, который стремится вернуть зеркало в равновесное положение. Теперь произведем умножение обеих частей на φ , проинтегрируем результат и получим:

Следующее уравнение является законом сохранения энергии, который будет выполняться для данных колебаний (то есть потенциальная энергия будет переходить в кинетическую и обратно). Мы можем считать эти колебания гармоническими, следовательно:

При выведении одной из формул ранее мы использовали закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Значит, можем записать так:

Как мы уже говорили, угол поворота можно измерить. Так, если температура будет равна приблизительно 290 К, а модуль кручения L ≈ 10 - 15 Н · м; φ ≈ 4 · 10 - 6 , то рассчитать значение нужного нам коэффициента можно так:

Следовательно, зная основы броуновского движения, мы можем найти постоянную Больцмана с помощью измерения макропараметров.

Значение постоянной Больцмана

Значение изучаемого коэффициента состоит в том, что с его помощью можно связать параметры микромира с теми параметрами, что описывают макромир, например, термодинамическую температуру с энергией поступательного движения молекул:

Этот коэффициент входит в уравнения средней энергии молекулы, состояния идеального газа, кинетической теории газа, распределение Больцмана-Максвелла и многие другие. Также постоянная Больцмана необходима для того, чтобы определить энтропию. Она играет важную роль при изучении полупроводников, например, в уравнении, описывающем зависимость электропроводности от температуры.

Пример 1

Условие: вычислите среднюю энергию молекулы газа, состоящего из N -атомных молекул при температуре T , зная, что у молекул возбуждены все степени свободы – вращательные, поступательные, колебательные. Все молекулы считать объемными.

Решение

Энергия равномерно распределяется по степеням свободы на каждую ее степень, значит, на эти степени будет приходиться одинаковая кинетическая энергия. Она будет равна ε i = 1 2 k T . Тогда для вычисления средней энергии мы можем использовать формулу:

ε = i 2 k T , где i = m p o s t + m υ r + 2 m k o l представляет собой сумму поступательных вращательных степеней свободы. Буквой k обозначена постоянная Больцмана.

Переходим к определению количества степеней свободы молекулы:

m p o s t = 3 , m υ r = 3 , значит, m k o l = 3 N - 6 .

i = 6 + 6 N - 12 = 6 N - 6 ; ε = 6 N - 6 2 k T = 3 N - 3 k T .

Ответ: при данных условиях средняя энергия молекулы будет равна ε = 3 N - 3 k T .

Пример 2

Условие: есть смесь двух идеальных газов, плотность которых в нормальных условиях равна p. Определите, какова будет концентрация одного газа в смеси при условии, что мы знаем молярные массы обоих газов μ 1 , μ 2 .

Решение

Сначала вычислим общую массу смеси.

m = ρ V = N 1 m 01 + N 2 m 02 = n 1 V m 01 + n 2 V m 02 → ρ = n 1 m 01 + n 2 m 02 .

Параметр m 01 обозначает массу молекулы одного газа, m 02 – массу молекулы другого, n 2 – концентрацию молекул одного газа, n 2 – концентрацию второго. Плотность смеси равна ρ .

Теперь из данного уравнения выразим концентрацию первого газа:

n 1 = ρ - n 2 m 02 m 01 ; n 2 = n - n 1 → n 1 = ρ - (n - n 1) m 02 m 01 → n 1 = ρ - n m 02 + n 1 m 02 m 01 → n 1 m 01 - n 1 m 02 = ρ - n m 02 → n 1 (m 01 - m 02) = ρ - n m 02 .

p = n k T → n = p k T .

Подставим полученное равнее значение:

n 1 (m 01 - m 02) = ρ - p k T m 02 → n 1 = ρ - p k T m 02 (m 01 - m 02) .

Поскольку молярные массы газов нам известны, мы можем найти массы молекул первого и второго газа:

m 01 = μ 1 N A , m 02 = μ 2 N A .

Также мы знаем, что смесь газов находится в нормальных условиях, т.е. давление равно 1 а т м, а температура 290 К. Значит, мы можем считать задачу решенной.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Постоя́нная Бо́льцмана ( k {\displaystyle k} или k B {\displaystyle k_{\rm {B}}} ) - физическая постоянная , определяющая связь между температурой и энергией . Названа в честь австрийского физика Людвига Больцмана , сделавшего большой вклад в статистическую физику , в которой эта постоянная играет ключевую роль. Её значение в Международной системе единиц СИ согласно изменения определений основных единиц СИ (2018) точно равно

Связь между температурой и энергией

В однородном идеальном газе , находящемся при абсолютной температуре T {\displaystyle T} , энергия, приходящаяся на каждую поступательную степень свободы , равна, как следует из распределения Максвелла , k T / 2 {\displaystyle kT/2} . При комнатной температуре (300 ) эта энергия составляет 2 , 07 × 10 − 21 {\displaystyle 2{,}07\times 10^{-21}} Дж , или 0,013 эВ . В одноатомном идеальном газе каждый атом обладает тремя степенями свободы, соответствующими трём пространственным осям, что означает, что на каждый атом приходится энергия в 3 2 k T {\displaystyle {\frac {3}{2}}kT} .

Зная тепловую энергию, можно вычислить среднеквадратичную скорость атомов, которая обратно пропорциональна квадратному корню атомной массы. Среднеквадратичная скорость при комнатной температуре изменяется от 1370 м/с для гелия до 240 м/с для ксенона . В случае молекулярного газа ситуация усложняется, например, двухатомный газ имеет 5 степеней свободы - 3 поступательных и 2 вращательных (при низких температурах, когда не возбуждены колебания атомов в молекуле и не добавляются дополнительные степени свободы).

Определение энтропии

Энтропия термодинамической системы определяется как натуральный логарифм от числа различных микросостояний Z {\displaystyle Z} , соответствующих данному макроскопическому состоянию (например, состоянию с заданной полной энергией).

Коэффициент пропорциональности k {\displaystyle k} и есть постоянная Больцмана. Это выражение, определяющее связь между микроскопическими ( Z {\displaystyle Z} ) и макроскопическими состояниями ( S {\displaystyle S} ), выражает центральную идею статистической механики.

Определяющая связь между температурой и энергией . Названа в честь австрийского физика Людвига Больцмана , сделавшего большой вклад в статистическую физику , в которой эта постоянная играет ключевую роль. Её экспериментальное значение в Международной системе единиц (СИ) равно:

Числа в круглых скобках указывают стандартную погрешность в последних цифрах значения величины. Постоянная Больцмана может быть получена из определения абсолютной температуры и других физических постоянных. Однако вычисление постоянной Больцмана с помощью основных принципов слишком сложно и невыполнимо при современном уровне знаний. В естественной системе единиц Планка естественная единица температуры задаётся так, что постоянная Больцмана равна единице.

Связь между температурой и энергией

В однородном идеальном газе , находящемся при абсолютной температуре , энергия, приходящаяся на каждую поступательную степень свободы , равна, как следует из распределения Максвелла, . При комнатной температуре (300 ) эта энергия составляет Дж , или 0,013 эВ . В одноатомном идеальном газе каждый атом обладает тремя степенями свободы, соответствующими трём пространственным осям, что означает, что на каждый атом приходится энергия в .

Зная тепловую энергию, можно вычислить среднеквадратичную скорость атомов, которая обратно пропорциональна квадратному корню атомной массы. Среднеквадратичная скорость при комнатной температуре изменяется от 1370 м/с для гелия до 240 м/с для ксенона . В случае молекулярного газа ситуация усложняется, например, двухатомный газ имеет приблизительно пять степеней свободы.

Определение энтропии

Энтропия термодинамической системы определяется как натуральный логарифм от числа различных микросостояний , соответствующих данному макроскопическому состоянию (например, состоянию с заданной полной энергией).

Коэффициент пропорциональности и есть постоянная Больцмана. Это выражение, определяющее связь между микроскопическими () и макроскопическими состояниями (), выражает центральную идею статистической механики.

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Постоянная Больцмана" в других словарях:

- (обозначение k), отношение универсальной ГАЗОВОЙ постоянной к ЧИСЛУ АВОГАДРО, равное 1,381.10 23 джоулей на градус Кельвина. Оно указывает на взаимосвязь между кинетической энергией частицы газа (атома или молекулы) и ее абсолютной температурой.… … Научно-технический энциклопедический словарь

постоянная Больцмана - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN Boltzmann constant … Справочник технического переводчика

Постоянная Больцмана - Boltzmann Constant Постоянная Больцмана Физическая постоянная, определяющая связь между температурой и энергией. Названа в честь австрийского физика Людвига Больцмана, сделавшего большой вклад в статистическую физику, в которой эта постоянная … Толковый англо-русский словарь по нанотехнологии. - М.

постоянная Больцмана - Bolcmano konstanta statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. Boltzmann constant vok. Boltzmann Konstante, f; Boltzmannsche Konstante, f rus. постоянная Больцмана, f pranc. constante de Boltzmann, f … Fizikos terminų žodynas

Соотношение S k lnW между энтропией S и термодинамической вероятностью W (k постоянная Больцмана). На Больцмана принципе основано статистическое истолкование второго начала термодинамики: природные процессы стремятся перевести термодинамическую… …

- (Максвелла Больцмана распределение) равновесное распределение частиц идеального газа по энергиям (E) во внешнем силовом поле (напр., в поле тяготения); определяется функцией распределения f e E/kT, где E сумма кинетической и потенциальной энергий … Большой Энциклопедический словарь

Не следует путать с постоянной Больцмана. Постоянная Стефана Больцмана (также постоянная Стефана), физическая постоянная, являющаяся постоянной пропорциональности в законе Стефана Больцмана: полная энергия, излучаемая единицей площади … Википедия

Значение постоянной Размерность 1,380 6504(24)×10−23 Дж·К−1 8,617 343(15)×10−5 эВ·К−1 1,3807×10−16 эрг·К−1 Постоянная Больцмана (k или kb) физическая постоянная, определяющая связь между температурой и энергией. Названа в честь австрийского… … Википедия

Статистически равновесная функция распределения по импульсам и координатам частиц идеального газа, молекулы к рого подчиняются классич. механике, во внешнем потенциальном поле: Здесь постоянная Больцмана (универсальная постоянная), абсолютная… … Математическая энциклопедия

Книги

• Вселенная и физика без "темной энергии" (открытия, идеи, гипотезы). В 2 томах. Том 1 , О. Г. Смирнов. Книги посвящены проблемам физики и астрономии, существующим в науке десятки и сотни лет от Г. Галилея, И. Ньютона, А. Эйнштейна до наших дней. Мельчайшие частицы материи и планеты, звезды и…

Больцман Людвиг (1844-1906) - великий австрийский физик, один из основоположников молекулярно-кинетической теории. В трудах Больцмана молекулярно-кинетическая теория впервые предстала как логически стройная, последовательная физическая теория. Больцман дал статистическое истолкование второго закона термодинамики. Им много сделано для развития и популяризации теории электромагнитного поля Максвелла. Борец по натуре, Больцман страстно отстаивал необходимость молекулярного истолкования тепловых явлений и принял на себя основную тяжесть борьбы с учеными, отрицавшими существование молекул.

В уравнение (4.5.3) входит отношение универсальной газовой постоянной R к постоянной Авогадро N A . Это отношение одинаково для всех веществ. Оно называется постоянной Больцмана, в честь Л. Больцмана, одного из основателей молекулярно-кинетической теории.

Постоянная Больцмана равна:

(4.5.4)

Уравнение (4.5.3) с учетом постоянной Больцмана записывается так:

(4.5.5)

Физический смысл постоянной Больцмана

Исторически температура была впервые введена как термодинамическая величина, и для нее была установлена единица измерения - градус (см. § 3.2). После установления связи температуры со средней кинетической энергией молекул стало очевидным, что температуру можно определять как среднюю кинетическую энергию молекул и выражать ее в джоулях или эргах, т. е. вместо величины Т ввести величину Т* так, чтобы

Определенная таким образом температура связана с температурой, выражаемой в градусах, следующим образом:

Поэтому постоянную Больцмана можно рассматривать как величину, связывающую температуру, выражаемую в энергетических единицах, с температурой, выраженной в градусах.

Зависимость давления газа от концентрации его молекул и температуры

Выразив Е из соотношения (4.5.5) и подставив в формулу (4.4.10), получим выражение, показывающее зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры:

(4.5.6)

Из формулы (4.5.6) вытекает, что при одинаковых давлениях и температурах концентрация молекул у всех газов одна и та же.

Отсюда следует закон Авогадро: в равных объемах газов при одинаковых температурах и давлениях содержится одинаковое число молекул.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул прямо пропорциональна абсолютной температуре. Коэффициент пропорциональности - постоянную Больцмана k = 10 -23 Дж/К - надо запомнить.

§ 4.6. Распределение максвелла

В большом числе случаев знание одних средних значений физических величин недостаточно. Например, знание среднего роста людей не позволяет планировать выпуск одежды различных размеров. Надо знать приблизительное число людей, рост которых лежит в определенном интервале. Точно так же важно знать числа молекул, имеющих скорости, отличные от среднего значения. Максвелл первым нашел, как эти числа можно определять.

Вероятность случайного события

В §4.1 мы уже упоминали, что для описания поведения большой совокупности молекул Дж. Максвелл ввел понятие вероятности.

Как неоднократно подчеркивалось, в принципе невозможно проследить за изменением скорости (или импульса) одной молекулы на протяжении большого интервала времени. Нельзя также точно определить скорости всех молекул газа в данный момент времени. Из макроскопических условий, в которых находится газ (определенный объем и температура), не вытекают с необходимостью определенные значения скоростей молекул. Скорость молекулы можно рассматривать как случайную величину, которая в данных макроскопических условиях может принимать различные значения, подобно тому как при бросании игральной кости может выпасть любое число очков от 1 до 6 (число граней кости равно шести). Предсказать, какое число очков выпадет при данном бросании кости, нельзя. Но вероятность того, что выпадет, скажем, пять очков, поддается определению.

Что же такое вероятность наступления случайного события? Пусть произведено очень большое число N испытаний (N - число бросаний кости). При этом в N " случаях имел место благоприятный исход испытаний (т. е. выпадение пятерки). Тогда вероятность данного события равна отношению числа случаев с благоприятным исходом к полному числу испытаний при условии, что это число сколько угодно велико:

(4.6.1)

Для симметричной кости вероятность любого выбранного числа очков от 1 до 6 равна .

Мы видим, что на фоне множества случайных событий обнаруживается определенная количественная закономерность, появляется число. Это число - вероятность - позволяет вычислять средние значения. Так, если произвести 300 бросаний кости, то среднее число выпаданий пятерки, как это следует из формулы (4.6.1), будет равно: 300 ·= 50, причем совершенно безразлично, бросать 300 раз одну и ту же кость или одновременно 300 одинаковых костей.

Несомненно, что поведение молекул газа в сосуде гораздо сложнее движения брошенной игральной кости. Но и здесь можно надеяться обнаружить определенные количественные закономерности, позволяющие вычислять статистические средние, если только ставить задачу так же, как в теории игр, а не как в классической механике. Нужно отказаться от неразрешимой задачи определения точного значения скорости молекулы в данный момент и попытаться найти вероятность того, что скорость имеет определенное значение.